Элементарные финансовые расчеты
S = 2(1 + 0,3375 × 120/360) = 2,225 млн. руб.
Таким образом, средняя процентная ставка составила 33,75 % и начисление процентов по этой ставке за весь срок ссуды дает такой же результат, как и тот, что был получен по формуле (2.2.1). Для сложных процентов выражение примет вид
īсл = ((1 + 0,3)60(1 + 0,35)30(1 + 0,4)30)1/120 – 1 = 0,33686 = 33,69 %,
S = 2(1 + 0,33686)120/360 = 2,203 млн. руб.
Начисление процентов по средней процентной ставке 33,69 % также дает результат, эквивалентный тому, что был получен по формуле (2.2.2).
Понимание различий механизмов наращения простых и сложных процентов помогает избежать довольно распространенных ошибок. Например, следует помнить, что такой процесс, как инфляция, развивается в геометрической, а не в арифметической прогрессии, т. е. к нему должны применяться правила начисления сложных, а не простых процентов. Темпы прироста цен в этом случае будут цепными, а не базисными, так как в каждом последующем месяце рост цен относится к предыдущему месяцу, а не к началу года или какой-либо иной неизменной базе. Например, если инфляция в январе составила 5 %, в феврале 4 %, а в марте 9 %, то общая инфляция за квартал будет равна не 18 % (сумма месячных показателей), а 19,03 % (1,05 × 1,04 × 1,09 – 1). Среднемесячный уровень инфляции за этот квартал составит (1,05 × 1,04 × 1,09)1/3 – 1 = 5,98 %. Вместе с тем, если среднемесячная инфляция за год составила 5,98 %, то это не значит, что общая инфляция за год в 12 раз больше (71,76 %). На самом деле годовая инфляция в этом случае составит свыше 100,7 % (1,059812 – 1).
В предыдущей главе обращалось внимание на сложности, возникающие при попытке понять смысл антисипативного начисления процентов. Рассмотрим ситуацию, в которой необходимо прибегнуть именно к этому способу. Например, коммерсант предлагает вместо оплаты наличными выписать на стоимость закупленных материалов вексель в сумме 500 тыс. рублей со сроком оплаты через 90 дней, который может быть учтен в банке по простой учетной ставке 25 % годовых (коммерческие проценты с точным числом дней ссуды). Для определения суммы, которую понадобится проставить в этом векселе, необходимо начислить проценты на стоимость товаров, используя антисипативный метод. Сумма векселя составит 533,333 тыс. рублей (500 × 1/(1 – – 90/360 × 0,25). Если продавец в тот же день учтет вексель в банке (на оговоренных условиях), то получит на руки ровно 500 тыс. руб. (533,333(1 – 90/360 × 0,25)). Таким образом, начисление антисипативных процентов используется для определения наращенной суммы, которая затем будет дисконтироваться по той же самой ставке, по которой производилось начисление. Такое чисто техническое использование наращения по учетной ставке преобладает в практических расчетах.
Наряду с расчетом будущей и современной величины денежных средств часто возникают задачи определения других параметров финансовых операций: их продолжительности и величины процентной или учетной ставок. Например, может возникнуть вопрос: сколько времени понадобится, чтобы данная сумма при заданном уровне процентной ставки удвоилась, или при каком уровне учетной ставки в течение года исходная сумма возрастет в полтора раза? Решение подобных задач сводится к преобразованию соответствующей формулы наращения (дисконтирования) таким образом, чтобы вычислить значение неизвестного параметра. Например, если надо рассчитать продолжительность ссуды по известным первоначальной и будущей суммам, а также уровню простой процентной ставки, то, преобразуя формулу начисления простых декурсивных процентов (S = P(1 + ni)), получим формулу (2.2.5) из табл. 2.2.1. По такой же формуле будет определяться срок до погашения обязательства при математическом дисконтировании.
Определение срока финансовой операции для антисипативного начисления процентов и банковского учета производится по формуле (2.2.6) из табл. 2.2.1. Например, нужно определить, через какой период времени произойдет удвоение суммы долга при начислении на нее 20 % годовых простых: а) при декурсивном методе начисления процентов; б) при использовании антисипативного метода. Временная база в обоих случаях принимается равной 365 дням (точные проценты). Применив формулы (2.2.5) и (2.2.6), получим:
а) t = (2 – 1)/0,2 × 365 = 1825 дней (5 лет);
б) t = (1 – 1/2)/0,2 × 365 = 912,5 дней (2,5 года).
Таблица 2.2.1
Формулы расчета продолжительности финансовых операций